Appx. Corrections

Midterm I Corrections

质点力学

2016-2017 春夏期中【速度的合成】

当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为 $30^\circ$。当火车以 $35\text{ m/s}$ 的速度水平行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为 $45^\circ$。假设雨滴相对于地的速度大小保持不变，则雨滴相对于车的速度大小为（$\quad$）$\text{m/s}$。

仔细读题

留意题目表述，一个是“偏向车头”，一个是“偏向车尾”。

答案

习题 4-4【微积分的应用】

一质量为 $m=10\text{ kg}$ 的物体在合力 $F=3+4 x\text{ (SI)}$ 的作用下，沿 $x$ 轴运动。该物体开始时静止在坐标原点，求该物体经过 $x=3\text{ m}$ 时的速度。

主要思路

通过 $\dfrac{\text dv} {\text dt} = \dfrac{\text dx}{\text dt} \cdot \dfrac{\text dv}{\text dx} = v \cdot \dfrac{\text dv}{\text dx}$，凑出微元 $\text dv$ 与 $\text dx$ 的关系。

答案

课件例题

一质量为 $0.2\text{kg}$ 的橡皮球，向地板落下。它以 $8\text{m}/\text{s}$ 的速率和地板相撞，并近似地以相同的速率回跳起来。高速摄影测得球与地板相接触的时间为 $0.001\text{s}$。怎样描述地板作用于球上的力呢？重力加速度 $g$ 取 $10 \text{m} / \text{s}^2$。

十分重要

由于球有质量 $m$，不要忘记考虑地面对球的支持力 $-mg$！

答案

课件例题【均匀物体的质心】

求腰长为 $a$ 的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。

细节

注意积分上界的选择。

答案

2020-2021 春夏期中【势能曲线】

知识点回顾

势能曲线的极小值处是稳定平衡点，势能曲线的极大值处是不稳定平衡点。

答案

第一空：$x_2$；第二空：$u_0$。

2020-2021 春夏期中

易错点

考虑大炮和炮弹构成的整体，仅受到斜面对大炮的支持力。故整体动量沿斜面方向守恒（而不是沿水平方向）。

答案

$\dfrac{M v_0}{v \cos \theta}$

课件例题【动量守恒】

质量为 $M$，半径为 $R$ 的四分之一圆弧形滑槽，原来静止光滑水平地面上，质量为 $m$ 的小物体由静止开始沿滑槽从槽顶滑到槽底。求这段时间内滑槽移动的距离 $s$。

答案

课件例题

如图所示，若使邮件沿着地球的某一直径的隧道传递，试求邮件通过地心时的速率。已知地球的半径为 $6.4\times 10^6\text m$，密度约为 $5.5 \times 10^3 \text{kg}/\text{m}^3$。

重要思想

对于 $\dfrac{\text d^2 r}{\text dt^2} = c\cdot r$ 的运动（其中 $c$ 为常数），可以类比到简谐振动。设 $c=-\omega^2$（这题中 $c<0$，正数也类似），可解出

$$r=R\cos \omega t \quad v=-R\omega \sin \omega t$$

答案

课件例题【微元法与一阶导数定义式的联系】

一质量为 $M$，长度为 $l$ 的均质细杆，以匀角速度 $\omega$ 绕固定轴旋转。设细杆不伸长，重力忽略不计，试求离固定端距离为 $r$ 处的杆中的张力。

注意

注意对积分边界条件的选择，这里 $r=l$ 时有 $T(r)=0$，而不是 $r=0$ 时。

答案

课件例题

一根质量为 $m$，长度为 $l$ 的链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与秤盘接触。现将链条释放并让它落到秤盘上，如图所示。求链条下落长度为 $x$ 时，秤的读数是多少？

答案

课件例题【微元法】

答案

刚体力学

2016-2017 春夏期中

一转动惯量为 $J$ 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为 $\omega_0$，设它所受的阻力矩与角速度成正比，即 $M_f=-k\omega$（$k$ 为正的常数），则圆盘的角速度从 $\omega_0$ 变到 $\omega_0/4$ 所需的时间 $\Delta t=\underline{\hspace{4em}}$。

注意细节

首先记得对等式两边求导得到微元的形式，将相同变量移到同侧，不要出现低级计算错误！

答案

课件例题

质量为 $M =2.0\text{kg}$ 的匀质圆盘，半径 $R=0.2\text{m}$，可绕过盘中心且与盘面垂直的水平光滑轴转动，其上挂有质量 $m=4.0\text{kg}$，长为 $l=2.0\text{m}$ 的匀质柔绳。设绳与盘无相对滑动，求圆盘两侧绳长之差 $\Delta l=0.50\text m$ 时，绳的加速度。

做题思路

这一问题中，软绳的摩擦力不可忽略。选用圆盘为研究对象，有

$$f R = J \beta = \dfrac 12 M R^2 \beta$$

选用与盘接触的弧形绳为研究对象

$$(T_2- T_1- f)R=(\pi R\lambda) R^2 \beta$$

两式相加，可得到一个与 $f$ 无关的等式。如果把圆盘和弧形绳作为整体进行分析，则摩擦力 $f$ 可视为内力，不需要考虑，即

$$(T_2 - T_1) R = (J_1 + J_2) \beta = \left(\dfrac 12 M R^2 + \pi R \lambda \right) \beta$$

思考与分析

答案

课件例题【打击中心问题】

如图所示，以水平力 $\boldsymbol f$ 打击悬挂在 $P$ 点的刚体，打击点为 $O$，若打击点合适，则打击过程中，轴对刚体的切向力 $\boldsymbol F_i$ 为 $\boldsymbol 0$，称该点为打击中心。设刚体时长度为 $l$ 的均匀细杆，求打击中心到轴的距离 $r_O$。

做题思路

分析绕 $P$ 点的定轴转动：

$$\boldsymbol f r_O = J \boldsymbol\beta = m R_G^2 \boldsymbol\beta$$

将轴对刚体的力分解为切向与法向，分析质心的运动方程（这里只用讨论切向）：

$$\boldsymbol F_t + \boldsymbol f = m \boldsymbol a_{Ct} = m R_c \boldsymbol\beta$$

答案

2016-2017 春夏期中【组合体为刚体时的定轴转动问题】

转动惯量？

本题中杆本身的质量可忽略，而组合体的质量分布在两个小球上，故实际上 $J=3m\left(\dfrac{l}{2}\right)^2$。不要想当然地套用常见刚体的转动惯量公式。

答案

Midterm II Corrections

静电学

大物甲课本 例题 10.2

一块面积为 $S$ 的金属大薄平板 $A$，带电量为 $Q$，在其附近平行放置另一块不带电的金属大薄平板 $B$，两板间距远小于板的线度。试求两板表面的电荷面密度，以及周围空间的场强分布。

解析

大物甲课本 例题 10.2

如图所示，一半径为 $R_1$ 的导体球 $A$，带有电量 $q$，球外有一内、外半径分别为 $R_2$ 和 $R_3$ 的同心球壳 $B$，带有电量 $Q$。（1）求球 $A$ 和球壳 $B$ 的电势；（2）若用细导线连接球 $A$ 和球壳 $B$，再求其电势；（3）若未连接时使外球接地，此时其电势又是多少？（4）如果外球接地后再拆除，然后将内球接地，此时其电势又是多少？（设外球离地很远）

解析

Savia7582 例题 10.4

平行板电容器两极板间距为 $d$，面积为 $S$，在极板间平行地放置两块厚度分别 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 的介质板，其相对介电常数为 $\varepsilon_{r1}$ 和 $\varepsilon_{r2}$。设电容器充电后两极板分别带有 $\pm q$ 的电荷。试求：（1）电容器的电容；（2）两介质交界面上的极化电荷面密度。

注意

• 这里因为插入了电介质，所以不能直接使用原版的高斯定理。实际上两电介质中的电位移是相同的 $\boldsymbol{D}_{1} = \boldsymbol{D}_{2}$，但是电场并不相同 $\boldsymbol{E}_1 \neq \boldsymbol{E}_{2}$。（可以结合下一题更好理解）
• 极化电荷面密度需要点乘表面的法向量，这里就需要分析 $\boldsymbol{P}$ 的方向和法向量的方向（最后是一正一负）。

解析

（第一问也可以等效成电容器串联来做）

Savia7582 例题 10.5

真空中一无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度均为 $\sigma$，现在的导体板右侧充满介电常数为 $\varepsilon$ 的均匀电介质。试求：（1）导体板左侧面、右侧面上的自由电荷面密度 $\sigma_{1}$，$\sigma_{2}$ 以及电介质表面的极化电荷面密度 $\sigma'$；（2）导体板左、右两侧的电场强度大小和方向。

解析

• 注意右侧的电介质产生的极化电荷和导体板上的自由电荷会相互影响。
• 这题里又变成了左右的电场相等而不是电位移矢量相等。这主要是因为上题确定了自由电荷的分布（为给定的带电量 $\pm q$），而这题里自由电荷会因为电介质的影响而重新分布。
• 这里又体现了严谨使用高斯定理的必要性。就是我们假设极板是有厚度的，高斯面只框一侧的电荷。因为如果我们框两侧的话，实际上已经假设了左右的电场/电位移矢量相同，自然就可能得出错误的结论。

解析

Savia7582 例题 10.6 (改)

一空气平行板电容器，两板间距为 $d$，极板上带电量分别为 $\pm q$，板间电势为 $U$，忽略边缘效应；保持电源不断开，在两板间平行插入一厚度为 $t$（$t<d$）的金属板，则板间电势差变为（$\quad$），此时电容器的电容值为（$\quad$）。

评注

• 此类问题需要关注电源是否断开，如果电源断开则 $Q$ 不变，电源不断开则 $U$ 不变。
• 像在这一题中，无论电源是否断开，算出来的电容值都是一样的。（这也很好理解）

答案

还是 $U$ 不变；$C'=\dfrac{d}{d-t} C=\dfrac{d}{d-t} \dfrac{q}{U}$。

2020-2021 秋冬期中 T4【等势体】

两个半径各为 $a$ 和 $b$ 的金属球，用细导线相连。它们间的距离比它们自身的线度大得多。如果给此系统带上电荷 $Q$，则两个金属球上所带的电荷分别为 $Q_a=$（$\quad$），$Q_b=$（$\quad$）。

读题

题面中说两球之间的距离 $\gg$ 两球自身限度，故一球对另一球的电势贡献可近似为 $0$。

解析

两球用细导线相连，形成了一个等势体。故考察两球表面，其所带电势相同。故满足：$U=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \dfrac{Q_{a}}{a}=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \dfrac{Q_{b}}{b}$。再考虑到 $Q_{a}+Q_{b}=Q$。

所以 $Q_{a}=\dfrac{a}{a+b} Q$，$Q_{b}=\dfrac{b}{a+b} Q$。

2020-2021 秋冬期中 T6【电容器能量】

一平行板电容器由两极板组成，每个极板面积为 $200\text{ cm}^{2}$，两个极板在空气中相距 $0.4\text{ cm}$，若电容器与 $500\text{ V}$ 的直流电源相连，则平行板电容器上贮存的能量为（$\quad$）$\text{J}$。

评注

这种简单的平行板电容器的题既可以用先得到电场强度，再电能密度的算法算；也可以直接套用电容器的能量公式。但是记得使用电能密度计算时关于体积进行积分。

解析

2020-2021 秋冬期中 T7【先得到电场 vs. 电位移？】

一片二氧化钛晶片，面积为 $1.0\text{ cm}^{2}$，厚度为 $0.1\text{ mm}$，把平行板电容器的两极板紧贴在晶片两侧， 若在电容器的两极板加上 $12\text{ V}$ 的电压时，电容器内电场强度大小为（$\quad$）$\text{V}/\text{m}$；若二氧化钛的相对介电常量为 $173$，则其表面的极化电荷面密度大小为（$\quad$）$\text{C}/\text{m}^{2}$。

评注

这种题一定要分清先有鸡还是先有蛋的问题（先算电场强度还是先算电位移矢量），这里电压（电势差）就是关于电场强度 $E$ 的积分，和电位移没关系，所以是先得到 $E$ 再得到其他，顺序不能错！。

解析

2021-2022 秋冬期中 T6【读题】

一平行板电容器中充满相对介电常数为 $\varepsilon_{r}$ 的各向同性均匀电介质。已知介质两表面极化电荷密度分别为 $\pm \sigma'$，则极化电荷在电容器中产生的电场强度大小为（$\quad$）。

注意

注意读题，这里是极化电荷产生的电场强度大小，而不是问电容器内的电场强度大小。

解析

2021-2022 秋冬期中 解答题 T2

一圆柱形电容器是由半径为 $R_{1}$ 的圆柱形导体和与它同轴的导体圆筒组成，圆筒内半径为 $R_{2}$，其间充满相对介电常数为 $\varepsilon_{r}$ 的电介质，沿轴线两极板上单位长度带电量分别为 $\pm \lambda_{0}$，忽略边缘效应，求介质表面的束缚电荷面密度 $\sigma'$。

习惯

自己设了参数的这种题，一定要注意回代题目中的变量。这题自己在做的时候就是只错这一个地方。

注意

束缚电荷面密度是通过 $P$ 点乘平面法向量得到的，这里就需要注意正负。其中，外表面法向量向外，内表面法向量向里。

解析

静磁学

Savia7582 例题 12.3

在半径为 $R$ 的无限长半圆筒形金属薄壁中，自上而下通过电流 $I$，设电流均匀地分布在薄壁上，求轴线上 $P$ 点的磁感应强度。

注意

• 无限长直导线产生的磁场分母的系数是 $2\pi$ 而不是 $4\pi$，因为乘了个 $(\cos 0-\cos \pi)$，不要搞错了！

解析

Savia7582 例题 12.9

如图所示，一半径为 $R$ 的塑料圆盘，表面上均匀分布有电量为 $+q$ 的电荷，圆盘以角速度 $\omega$ 绕通过中心且与盘面垂直的轴转动。则该圆盘的磁矩 $p_m$ 的大小为（$\quad$）；方向为（$\quad$）。

等效环形电流

半径 $r$ 处的等效环形电流为：$I=\dfrac{\text{ d}Q}{\text{ d}t}=\dfrac{\sigma (r\text{d} \theta \cdot \text{d}r)}{\text{d}t}=\sigma \omega r \text{d}r$。

解析

Savia7582 例题 12.11【非均匀磁场中的磁力矩】

如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线 $1$ 和 $2$ 绕接于 $o$ 点，两导线间的夹角为 $90\degree$，通有相同的电流 $I$，求距导线 $2$ 距离 $r$ 处，导线 $1$ 的单位长度线段所受磁力对点 $o$ 的力矩大小。

解析