II 线性空间、欧氏空间

利用系数矩阵的秩与解空间的关系

证明： $A \in \mathbb P^{n \times n}$，则 $r(A) = r(A^T A) = r(A A^T)$。

提示

可以考虑证明相应线性方程组的解空间相同或维数相同。

答案

只需证明 $AX = O$ 和 $(A^T A) X = O$ 的解空间相同，即可说明其系数矩阵的秩相同。

下面是我的过程：

利用向量组证明矩阵相关命题

【2018-2019 秋冬期末】设 $A,B$ 是两个 $m\times n$ 矩阵，且存在方阵 $C,D$ 使得 $A=BC,\ B=AD$ 试证明：存在可逆矩阵 $M$ 使得 $B= AM$。

关于不保证可逆矩阵的计算不要想当然

比如 $A B=A \Rightarrow B=E$，显然是错误的。

答案

取特殊值证明充要性

【P185 补充题八 4】设 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 是具有内积 $(\cdot,\cdot)$ 的 $n$ 维欧式空间 $V$ 的一个基，证明：这个基是 $V$ 中的一个标准正交基当且仅当 $\forall \alpha \in V$，有

$$\alpha = (\alpha,\alpha_1)\alpha_1 + (\alpha,\alpha_2) \alpha_2+\cdots +(\alpha,\alpha_n)\alpha_n$$

重要技巧

这种直接证明充要性不好证明的问题，可以拆成两个方向分别证明。

这里 $\Rightarrow$ 是显然的，难点在证明 $\Leftarrow$。但注意到此时的已知是对于任意 $\alpha \in V$ 都满足，我们可以取特定的 $\alpha$ 来得到想要的结果。

答案

正交矩阵相关概念

下述关于正交矩阵的叙述正确的是（$\quad$）。

A. 正交矩阵是对称矩阵。
B. 正交矩阵的列向量都是单位向量。
C. 正交矩阵的行向量相互正交。
D. 正交矩阵的行列式是 1。

答案

BC

核空间与像空间

【2020-2021 秋冬 5(2)】设 $m,n,p \in \mathbb N_+$，$A \in \mathbb R^{m \times n}$，$B \in \mathbb R^{p \times n}$，并设 $W=\{AX\in \mathbb R^m | BX=0_p\}$，其中 $0_p$ 是一个 $p$ 维零列向量。若 $r\left(\left(\begin{matrix}A\\ B\end{matrix}\right)\right)=r_1$，$r(B)=r_2$，试求 $\dim W$。

答案