错题本（Ⅱ）

级数

基础

求幂级数的和函数与收敛区间

【2022-2023 春夏期中 10.】求幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \left( 1-\frac{1}{2n+1} \right) x^{2n}}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)$。

注意

中间有一步需要将极限除以 $x$，故 $x=0$ 的情况应该扣出来单独讨论。

答案

收敛半径的性质与求解

【2018-2019 春夏期中 4.】 已知级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}} a_n x^n$ 在 $x=-1$ 处条件收敛，试求级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}} a_n (n+1) x^n$ 的收敛半径（请给出理由）。

提示

来看一下比较严谨的证明过程。特别是说明原级数收敛半径这段。

答案

将周期函数展开成傅里叶级数

【2018-2019 春夏期中 5.】 设 $f(x) = e^x\, (0\le x \le 2 \pi)$，将 $f(x)$ 展开成周期 $2\pi$ 的傅里叶级数。

TBD：重做一遍

答案

重要

困难

【2022-2023 春夏期中 1.】判断级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1+\sqrt{2} +\cdots + \sqrt{n}}}$ 的敛散性。

TBD：重做一下吧

答案 (by 路老师)

挑战

2022 压轴

【2022-2023 春夏期中 13.】设 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为正项数列，试证：

(1) 对任意的正整数 $n$，若 $a_n b_n - a_{n+1} b_{n+1} \le 0$，且 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{b_n}}$ 发散，则 $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} a_n$ 发散。

(2) 对任意的正整数 $n$，若 $\displaystyle{b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}} - b_{n+1} \ge \delta$，$\delta$ 为正常数，则 $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} a_n$ 收敛。

2021 压轴

【2021-2022 春夏期中 13.】已知函数 $f(x)$ 的周期为 $2\pi$，且 $0\le x\le 2\pi$ 时有 $f(x)=\dfrac{1}{4} x (2\pi - x)$。

(1) 将 $f(x)$ 展开成 Fourier 级数；

(2) 证明：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}}$。

2018 压轴

【2018-2019 春夏期中 13.】设 $0<a_0<1$，$a_{n+1} = a_n (1-a_n) \space (n=0,1,2,\ldots)$。证明：

(1) 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} (-1)^n a_n$ 收敛。

(2) 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} a_n$ 发散。

空间解析几何

基础

重要

点到直线的垂线

求过点 $A(2,1,3)$ 且与直线 $L:\,\displaystyle{\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}2=\frac{z}{-1}}$ 垂直相交的直线方程。

解题思路

• 垂线难求，可以先求点 $A$ 与直线 $L$ 所在的平面。
• 求直线与平面的交点时，可用直线的参数式方程代入平面简化计算。

答案

两条直线的公垂线

设有直线 $L_1:\, \dfrac{x+2}{1} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z+1}{1}$，$L_2:\, \dfrac{x+4}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-4}{3}$。试求与直线 $L_1,L_2$ 都垂直且相交的直线方程。

解题思路

• 用叉乘得到公垂线的方向向量 $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$；接下来，解出直线的一般式方程最为方便。
• 公垂线难求，可以通过相当于过直线 $L_1$ 平行于 $\vec{v}$ 的平面与过直线 $L_2$ 平行于 $\vec{v}$ 的平面的交得到。
• 平行于两方向向量的平面可以通过叉积得到法向量 $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$。

答案

多元函数微分学

基础

【2022-2023 春夏期中 11.】设 $u=f\left(x,\dfrac{x}{y}\right)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\dfrac{\partial u}{\partial x},\, \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$。

TBD：重新审视一下这类题目。

答案

重要

求解二重极限

【2022-2023 春夏期中 5.】求极限 $\displaystyle{\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} x^2 y \ln (x^2 +y^2)}$。

回顾

求二重极限只能使用夹逼定理或变量代换，切勿走上二重极限的不归路。

答案

讨论函数在特定点的可微性

【2022-2023 春夏期中 7.】讨论函数 $\displaystyle{f(x) = \begin{cases}\sqrt{|xy|} \sin\ln (x^2 + y^2), \quad& (x,y)\neq (0,0) \\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$ 在点 $(0,0)$ 的可微性。

提示

相当于验证极限是否存在且为 $0$：

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)} = \frac{\Delta z - A \Delta x - B \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}$$

用 $x\rightarrow 0,y= x$ 去逼近即可得到极限震荡（不存在），如果用夹逼定理反而不能说明。因而应该先判断极限是否存在在选择适用的方法。

困难

全微分公式

取 $x$ 作为函数，而 $u = y - z$，$v = y + z$ 作为自变量，变换方程

$$(y - z)\frac{\partial z}{\partial x} + (y + z)\frac{\partial z}{\partial y} = 0$$

错解

$$\begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{1}{2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2}} \end{cases} \Longrightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}}}$$

从而化简原方程：

$$(y - z)\frac{\partial z}{\partial x} + (y + z)\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \Leftrightarrow \frac{u}{\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}}} = 0$$

错因

不能简单的认为 $\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$。这题由于 $u,v$ 是自变量，$x$ 是因变量，我们应该把 $y,z$ 看成中间函数。而不能因为 $u,v$ 和 $y,z$ 都是线性无关的两组基在解题时认为他们是两组自变量。

核心思想

写出 $dx$ 关于 $du,dv$ 的全微分公式，但将其中的 $du,dv$ 通过 $dy,dz$ 代换就可以得到 $dx$ 关于 $dy,dz$ 的全微分公式。这一方法在求单项时也可用。

答案

$$du = dy - dz,\ dv = dy + dz$$ $$\begin{aligned} & dx = \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv = \frac{\partial x}{\partial u}\left( \mathrm{d}\mathit{y} - dz \right) + \frac{\partial x}{\partial v}\left( \mathrm{d}\mathit{y} + dz \right) \\ \Longrightarrow & \left( \frac{\partial x}{\partial u} - \frac{\partial x}{\partial v} \right)dz = - dx + \left( \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial x}{\partial v} \right)dy \\ \Longrightarrow & dz = \frac{1}{\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}} + \frac{\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial x}{\partial v}}{\frac{\partial x}{\partial u} - \frac{\partial x}{\partial v}}dy \\ \Longrightarrow & \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}},\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial x}{\partial v}}{\frac{\partial x}{\partial u} - \frac{\partial x}{\partial v}} \end{aligned}$$

代入得

$$u \cdot \frac{1}{\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}} + v \cdot \frac{\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial x}{\partial v}}{\frac{\partial x}{\partial u} - \frac{\partial x}{\partial v}} = 0 \Longrightarrow \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{u}{v}\ (v \neq 0)$$

全微分综合题

【2021-2022 春夏期中 9.】设 $f(x,y)$ 可微，且对任意 $t,x,y\in\mathbb R$，有 $f(tx,ty) = t^2 f(x,y)$ 成立。$M_0 (1,-2,3)$ 为曲面 $z=f(x,y)$ 上的点，若 $f'_x (-1,2) = 4$，求 $\text dz|_{M_0}$。

答案

全微分综合题

【2020-2021 春夏期中 6.】设函数 $f(t)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，又函数 $u(x,y,z)=f(r)$，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，记 $\Delta u=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$，把 $\Delta u$ 表示成关于 $r$ 的函数。

答案

挑战

判断二重极限是否存在

【2021-2022 春夏期中 11.】设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2022} y}{x+y} \quad&(x^2+y^2\neq 0)\\ 0\quad&(x^2+y^2=0)\end{cases}$，据理说明 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否连续。

答案