错题本（I）

数列

极限

极限局部代换的前提

【2019-2020 期中 3】求极限 $\displaystyle{\lim_{x->\infty} \left( \cos \frac 1x+\sin \frac{1}{x^2} \right)^{x^2}}$

错解

错因

接进行局部代换。局部代换的本质是极限的四则运算法则，故要参考相应的适用条件。

答案

连续函数代入值的条件

【2020-2021 期末 1】试求极限 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}} \left(n^2 - \dfrac{1}{\sin^2 \frac 1 n}\right)$。

错误做法

错因：在求极限时不能随意代入 $\cos 0=1$，这里只能用等价无穷小的代换： $x\rightarrow 0^+,\ \cos x-1\sim \frac 12 x^2$

$$\begin{aligned} \text{原式} &=\lim_{x\rightarrow 0^+} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}\right) =\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin^2 x-x^2}{x^4} =\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{2\sin x\cos x-2x}{4x^3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin x\cos x - x}{2 x^3} =\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin x-x}{2x^3} =\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\cos x-1}{6x^2} =\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{0}{6x^2} =0 \end{aligned}$$

微分

可导函数的要求

【2019-2020 期中 12(2)】 设 $f(x)=\begin{cases}x^{\alpha} \sin \dfrac{1}{x^{2}},\quad&x>0\\0,\quad&x\leq0\end{cases}$，问 $\alpha$ 满足什么条件时，$f(x)$ 是可导函数。

答案

递推求高阶函数的导数

【2017-2018 期末 3】设 $f(x)=\arctan x$，试求 $f^{(2018)}(0)$ 的值。

思维不要局限在 $(u,v)^{(n)}$ 的求导公式上，也可以从函数本身的性质入手。

答案

求高阶导数的因式分解技巧

设 $f(x) = (8x^3 - 1)^n \arcsin^2 \dfrac{\pi x}{3}$，$n$ 是正整数，求 $f^{(2024)}\left(\dfrac{1}{2}\right)$。

高阶导数的技巧总结

1. 利用莱布尼茨公式
   1. 考虑是否某个因式只有高次导或低次导带入后非零
   2. 这里甚至可以通过因式分解来提出一个因式
2. 利用递推

答案

中值定理

不定积分

第二换元法之倒变换

求：$\displaystyle{\int \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x^4} \text dx}$。

常利用到倒变换来消除分母中的 $x^n$ 因子。

答案（利用倒变换）

答案（利用三角换元）

分部积分的使用时机

【2017-2018 期末】求不定积分 $\displaystyle{\int \arctan \sqrt{\frac{1-x}{1-x}} \text dx} ,\quad x \in (-1,1)$。

答案（非常简单）

定积分

用定积分表示极限

如何用定积分表示下述极限：

$$I=\lim_{ n \to \infty } \left[ \dfrac{\sin \frac \pi n}{n+1} + \dfrac{\sin \frac {2\pi}n}{n+\frac 12} + \cdots + \dfrac{\sin \frac{n \pi }n}{n+\frac 1n} \right]$$ $$J=\lim_{ n \to \infty } \left[ \dfrac{\sin \frac {2\pi}n}{n+\frac 12} + \cdots +\dfrac{\sin \frac {n\pi}n}{n+\frac 1n} + \dfrac{\sin \frac {(n+1)\pi}n}{n+\frac 1{n+1}}\right]$$

提示

这类题目也可以配合夹逼的思想。

答案

【思考 2】先夹逼

【思考 3】化为多个积分和的加减

积分的柯西不等式

【P237 习题 5-2 6】设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，可微且 $f(a) = 0$，设 $M = \displaystyle{\sup_{a\le x\le b} |f(x)|}$， 证明：

$$M^2 \le (b-a) \int_a^b {f'}^2 (x) dx$$

柯西不等式的积分形式（重要）

$\left(\int_a^b f(x)g(x) \text dx\right)^2 = \left(\int_a^b f^2(x) \text dx\right)\left(\int_a^b g^2(x) \text dx\right)$

答案（求导）

我的过程

定积分和拉格朗日中值定理联动

【P237 习题 5-2 14】设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续的倒数，且 $f(a) = f(b) = 0$。证明：

$$\max_{a \le x \le b} |f'(x)| \ge \frac {4}{{b-a}^2} \int_a^b |f(x)| \text dx$$

定积分计算题

【习题 3-1 1(18)】求定积分：$\displaystyle{\int_0^{\ln 2}\sqrt{1-e^{-2x}} \text dx}$。

答案

研究带参数的反常积分敛散性时忽略情况

【习题 5-5 22】研究反常积分 $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^n} \text dx}$ 的敛散性。

不能忽略 $m<-1$ 时，$x=0$ 成为瑕点的情况。

答案

留意通过分部积分来对消的定积分

【2022-2023 秋冬期末】求定积分 $I = \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}4} \dfrac{e^{\frac t2} (\cos t - \sin t)} {\sqrt{\cos t}}}$。

提示

一定要第一时间分成 $\cos t$ 和 $\sin t$ 两部分分别做，然后会发现分部积分后恰好能抵消另一个定积分。

答案